Артаганальная матрыца

Артаганальная матрыца — квадратная матрыца $A$ з рэчаіснымі элементамі, вынік множання якой на $A^{T}$ роўны адзінкавай матрыцы:

$AA^{T}=A^{T}A=E,$

або, што эквівалентна, яе адваротная матрыца роўная транспанаванай матрыцы:

$\!A^{-1}=A^{T}.$

Уласцівасці

• Стоўбцы і радкі артаганальнай матрыцы ўтвараюць сістэмы ортанарміраваных вектараў, гэта значыць:

$\!\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}$

і

$\!\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}$

дзе $i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}$, n — парадак матрыцы, а $\delta _{jk}$ — сімвал Кронекера.

Іншымі словамі, скалярны здабытак радка на сам сябе роўна 1, а на любы іншы радок — 0. Гэтак жа і для слупкоў.

• Вызначнік артаганальнай матрыцы роўны $\pm 1$, што вынікае з уласцівасцей вызначальнікаў:

  $\!1=\det(I)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.$

• Мноства артаганальных матрыц парадку $n$ над полем $k$ ўтварае групу па множанню, так званую артаганальную групу, якая пазначаецца $O_{n}(k)$ або $O(n,\;k)$ (калі $k$ апускаецца, то мяркуецца $k=\mathbb {R}$).
• Артаганальнай матрыцы адпавядаюць лінейным аператарам, якая пераводзiць ортанарміраванны базіс лінейнай прасторы ў ортанарміраваны.
• Любая рэчаісная артаганальная матрыца падобная блокава-дыяганальнай матрыцы з блокамі выгляду

$(\pm 1)$ и ${\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.$

Прыклады

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ — адзінкавая матрыца

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}0.96&-0.28\\0.28&\;\;\,0.96\\\end{pmatrix}}$ — прыклад матрыцы павароту

• ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ — прыклад перастановачнай матрыцы

Гл. таксама

• Унітарная матрыца